Was sind und was sollen die Zahlen?

V druhém vydání Co jsou a co mají být čísla? se Dedekind zabývá nejen čísly, ale i nekonečnem. V § 5 s názvem Konečné a nekonečné podává definici nekonečna: „Systém S se nazývá nekonečným, je-li podobný vlastní části sebe sama; v opačném případě se nazývá S konečným systémem.“ Pojmu nekonečna předchází pojem systému, bez něhož by nekonečno nemohlo být objasněno. Systém vzniká tak, že „rozdílné věci označené jako a, b, c…a chápané z nějakého společného hlediska v duchu shrneme a hovoříme pak o nich, že tvoří systém S; věci a, b, c… jsou prvky systému, jsou obsaženy v S a naopak S je tvořeno těmito prvky.“ Z vlastností systému pak můžeme dovodit, zda je S nekonečným, či naopak konečným systémem. Aby mohl vytvořit definici systému S a ten pak rozdělit na nekonečnou a konečnou soustavu, musel Dedekind ještě definovat podobnost, protože systém S je nekonečný pouze tehdy, je-li „podobný vlastní části sebe sama“. Podobnost je spojena s pojmem zobrazení, jež definuje Dedekind takto: „Zobrazením φ systému S se rozumí zákon, podle něhož ke každému určitému prvku s ze systému S přísluší určitá věc, která se nazývá obraz s a označená φ (s), říkáme rovněž, že φ (s) odpovídá prvku s, že φ (s) vzniká či je vytvořeno z s zobrazením, že s přechází do φ (s) zobrazením φ.“ Podobné zobrazení definuje Dedekind následovně: „Zobrazení φ systému S je podobné (nebo zřetelné), když rozdílným prvkům a, b, c… systému S odpovídají vždy rozdílné obrazy a´ = φ (a), b´= φ (b).“

Pojetí čísel můžeme rozdělit nejen podle použitých metod, ale také, podobně jako je tomu u logických objektů, podle „způsobu existence čísel“. Platónské pojetí chápe čísla jako na lidské mysli nezávislé entity, psychologistické pojetí je chápe jako výtvory lidské mysli a pragmatické pojetí chápe čísla jako prvky lidského chování vůči matematickým operacím, podobně jako Ludwig Wittgenstein chápal jazyk jako produkt i prvek používání. „Každý znak se zdá sám o sobě mrtvý. Co mu dává život? – Žije v užití?“ ptá se Wittgenstein ve svých Filozofických zkoumáních. Dedekindovo pojetí čísel, jež vychází z přirozených čísel, tedy celých kladných čísel, jimž lze něco přiřazovat nebo určovat pořadí něčeho, je psychologistické, protože v tomto spise čísla definuje jako „svobodně vzniklé výtvory lidského ducha, jež slouží jako prostředek snazšího a přitom přesnějšího rozlišování věcí“.

Sepsal: PhDr. Michal Janata